Лице на многоъгълник и правилен многоъгълник

Лице на многоъгълник

Лицето на произволен многоъгълник (фигура) може да се намери като
сбор (разлика) от лицата на съставящите го (я) фигури.

Знаем, че за да намерим лицето на една фигура, я разделяме на познати фигури (триъгълник, правоъгълник, квадрат, успоредник или трапец). Сборът от лицата на получените фигури е лицето на цялата фигура.

Пример 1.
Разделете трапеца на познати фигури и намерете лицето му. 
Решение: 
Трапецът (фигурата) е разложен на два триъгълника и един правоъгълник.
SMNCD = 1,5*2 = 3 см2 
SAMD = SBNC = ½1*1,5 = 0,75 см2
SABCD = 3 + 0,75 + 0,75 = 4,5 см2 (Формулата за лице на трапец не е необходима.)		Пример 2.
Намерете лицето на оцветената фигура. 
Решение: 
Лицето на фигурата може да се намери като разлика от лицето на провоъгълника ABCD и лицата на правоъгълните трапеци.
SEFPCDQ = SABCD - 2*SAEQD = 4*2 - 2*1* (1+2)/2 = 8 - 3 = 5 см2

Намирането на лице на многоъгълник, начертан върху координатната ос,
може да бъде лесен процес чрез БРОЕНЕ  или чрез използване на простия 
метод BOX („кутия“). Дали „кутията“ е необходима, зависи от разположението на многоъгълника в координатната мрежа. Възможни са две ситуации:
.

Страните са успоредни на осите:
Ако многоъгълникът е начертан така, че неговите страни (или необходимите елементи) лежат ВЪРХУ решетките на милиметровата хартия, ПРЕБРОЙТЕ дължината и използвайте подходяща формула за лице.

Страните са успоредни на осите:

БРОЙТЕ, за да намерите дължините на необходимите елементи. Основите на трапеца лежат ВЪРХУ решетките на милиметровата хартия (хоризонтално), а височината (вертикална) също лежи ВЪРХУ решетките на милиметровата хартия, тъй като височината на трапеца е перпендикулярна на основите му, чрез преброяване дължината на едната основата е 7 см, на другата е 3 см и височината е 5 см.
Използвайте формулата за лице на трапец:
SABCD = ½(AB +CD)*h
Отговорът е 25 см2.

AВ може да се намери и чрез изваждане на x-координатите на двете точки [3 - (-4) = 7], аналогично и за CD: [1 - (-2) = 3]. Тъй като основата на височината се намира в точка с координати (1,-2), височината може да се намери чрез изваждане на y-координатите [3 - (-2) = 5].

Страните НЕ СА успоредни на осите:
Ако многоъгълникът е начертан така, че неговите страни (или необходимите елементи) НЕ лежат ВЪРХУ решетките на милиметровата хартия, начертайте „КУТИЯ“ около многоъгълника,
за да определите лицето му.

Страните НЕ са успоредни на осите:

Страните на Δ ABC НЕ лежат върху линиите на мрежата на милиметровата хартия. Използвайте „Метода на кутията“, за да намерите лицето на триъгълника.
• Начертайте възможно най-малката „кутия“, за да оградите триъгълника (Δ ABC). Уверете се, че „кутията“ следва решетките на милиметровата хартия.
• Намерете всяка от частите на „кутията“ с римска цифра.
• „Цялото е равно на сбора от неговите части.“ Сбора от лицата на всички части на „кутията“ е равен на лицето ѝ.
S„кутия“ = SI + SII + SIII + SIV, където SIV = SΔ ABC = x
49 = 5 + 7 + 17,5 + x
x = 19,5 см2
Отговорът е 19,5 см2.

ЗАДАЧА. Намерете лицето на начертаните фигурите, ако дължината на всяко квадратче от мрежата е 1 см.

ОТГОВОР

Решение: Лицето на квадрата се намира лесно:
• Sквадрат = 3 x 3 = 9 кв. см
Лицето на шестоъгълника се намира малко по-трудно. Нека впишем шестоъгълника в правоъгълник.
• Всичките четири правоъгълни триъгълника около шестоъгълника са с равни лица:
Sправоъгълен триъгълник = ½(3х2) = 3 кв. см.
• Лицето на правоъгълника, който начертахме, е Sправоъгълник = 6x7 = 42 кв. см.
• От лицето на правоъгълника изваждаме сбора от лицата на триъгълниците и получаваме лицето на шестоъгълника.
Sшестоъгълника = Sправоъгълник – 4 х Sправоъгълен триъгълник = 42 – 4х3 = 42 – 12 = 30 кв. см.
• Лицето на фигурата се получава, като съберем лицата на шестоъгълника и квадрата:
Sфигура = Sшестоъгълника + Sквадрат = 30 + 9 = 39 кв. см.

ОТГОВОР

Решение: Нека впишем цветната фигура в правоъгълник.
• Намираме лицата на правоъгълните триъгълници около цветната фигура:
Sправоъгълен триъгълник I = ½(3х1) = 1,5 кв. см.
Sправоъгълен триъгълник II = ½(3х4) = 6 кв. см.
Sправоъгълен триъгълник III = ½(6х4) = 12 кв. см.
• Лицето на правоъгълника, който начертахме, е Sправоъгълник = 6x8 = 48 кв. см.
• От лицето на правоъгълника изваждаме сбора от лицата на триъгълниците и получаваме лицето на цветната фигура.
Sцветна фигура = Sправоъгълник – (Sправоъгълен триъгълникI + Sправоъгълен триъгълник II + Sправоъгълен триъгълник III) = 48 – (1,5 + 6 + 12) = 48 – 19,5 = 20,5 кв. см.

Лице на правилен многоъгълник

Правилен n-ъгълник може да бъде разделен на n равнобедрени триъгълника с основа b и височина a, където a е радиусът на вписаната окръжност.  Следователно за лицето на правилен многоъгълник S е в сила:

Тъй като страната на многоъгълника е страна на триъгълника,
то броят на тези триъгълници е равен на броя на страните на многоъгълника. Следователно можем да съставим „формула“ от това знание:

Знаем, че лицето на всеки правилен многоъгълник е
½ х (височината на триъгълника от центъра) х (периметър на многоъгълника).

Забележете, че:
„височината“ на триъгълника е „апотемата“ (а) на многоъгълника;
„основата“ на триъгълника е едната страна (b) на многоъгълника.

ЗАДАЧА. Да направим снежинка!
На фигури 1, 2, 3 е показано как от тяхната последователност се получава снежинка за украса фигура 5. Пресметнете вътрешната част (фиг. 4.) на снежинката (фиг. 5.), ако лицето на един от триътълниците от мрежата е равно на 0,7 см2. Пресметнете и лицето на снежинката (оцветената част на фиг. 5), ако радиусът на кръга е 3 см.

ОТГОВОР

Sснежинка = 20 х 0,7 =14 кв. см
Sкръг = π r 2 = π 3 2 = 9π = 28,26 кв. см
Sцветна част = Sкръг – Sснежинка = 28, 26 – 14 = 14,26 кв. см